マエカワの備忘録的な何か

思い立ったが吉日

音声音響情報処理 其の一 20180410

この講義について

  • 成績は,期末試験一発勝負(難しい問題は出さない模様.手書き資料持ち込み可能)
  • 講義は演習中心に進める
  • ノートPCを持参のうえ,scilabを使って波形の変化などを確認していく

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音は位置の関数でもある

 一般に,音は時間 tの関数ではあるが,伝搬することを考えると位置 xの関数と考えることもできる.
 順方向へ伝搬する波を考える場合,音速 cを用いて音 p(x,t)は次のように表現できる.

   \displaystyle p(x,t)=f(x-ct)

逆方向への伝搬は

   \displaystyle p(x,t)=g(x+ct)

と書ける.この二つの関係式を音は持っていると考え,音 p(x,t)は一般にこのように書ける.

   \displaystyle p(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)

上記のような音の解釈をを「ダランベールの解」と呼ぶ.

波動方程式

 何やかんやの条件とかを合わせて音を考えていくと,次のような2階微分方程式が導き出せる.

   \displaystyle \frac{\partial^2}{\partial x^2}p(x,t)=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}p(x,t)

さっきの「ダランベールの解」をこの波動方程式にあてはめて計算すると,成立することがわかる.つまり,ダランベールの解は音をあらわしていることがわかる.
 そのほか,変数分離を用いて解いていくと,

   \displaystyle p(x,t)=A(\omega )\exp^{j\omega t}\exp^{-jkx}

と解が出てくる.
 以上の関係式を見ていくと,異なる音 p_1(x,t) p_2(x,t)を足し合わせても波動方程式を満たすことがわかる.これが俗にいう「重ね合わせの定理」.つまり,

   \displaystyle p(t)=\sum_{\omega}A(\omega)\exp^{j\omega t}

も波を表わしていることがわかる.

フーリエ変換とか

 演習に入る前に,フーリエ級数展開フーリエ変換についての復習がありました.まぁ,教科書に書いてあることなのでここでは割愛.

最後に

 演習多め,さらにscilabを使った課題とかがあるのでB3のインタラクティブシステム論を思い出しますね.積分計算とか,久しぶりにやったのでとても時間がかかってしまった....応用数学講義ノート,見直すかな.
 手書き資料は持ち込み可能とのことなので,しっかり準備すれば単位は取れるのかなって感じです.たぶん,履修する.